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  • Finesse d'une topologie

    Formulaire de report

    Finesse d'une topologie Une Topologie \(\tau_1\) est plus fine qu'une topologie \(\tau_2\) si tout Ouvert de \(\tau_2\) est un ouvert de \(\tau_1\) $$\tau_2\subset\tau_1.$$
    • la topologie la plus fine est toujours la Topologie discrète
    • la topologie la moins fine est toujours la Topologie grossière
    • intuition : une topologie plus fine a plus d'ouverts, et permet donc de regarder plus "finement" la proximité de deux points
    • caractérisations :
            
      1. Pour tout élément d'un ensemble dans la seconde Base, il existe un ensemble dans la seconde base qui vient se mettre entre les deux $$\forall U\in{\mathcal B}_2,\forall x\in U,\exists B\in{\mathcal B}_1,\quad x\in B\subset U$$

        
  • \(\rm{id}:(E,\tau_1)\to(E,\tau_2)\) est continue
      •         
    • donc si \(\rm{id}\) est un Homéomorphisme, alors on a l'égalité des topologies
    • caractérisation séquentielle : toute suite qui converge dans \(\tau_1\) converge également dans \(\tau_2\)
      •     
    • conséquence : deux topologies qui ont les mêmes suites convergentes sont égales
    • si \(\tau_1\) est plus fine que \(\tau_2\), alors on dit que \(\tau_2\) est plus grossière que \(\tau_1\)

    Démontrer que \(\tau_1\) est plus fine que \(\tau_2\) si et seulement si : $$\forall U\in{\mathcal B}_2,\forall x\in U,\exists B\in{\mathcal B}_1,\quad x\in B\subset U.$$

    \(\impliedby\) : Prendre un ouvert de \(\tau_2\) et le décomposer dans la base \({\mathcal B}_2\) et en fonction de ses éléments \(x\)

    Cette égalité nous donne le fait que \(U\) est un ouvert de \(\tau_1\), car réunion d'éléments de sa base

    \(\implies\) : Si on prend \(U\in{\mathcal B}_2\), alors \(U\) est un ouvert pour les deux topologies, ce qui permet de conclure en décomposant dans la base \({\mathcal B}_1\)